Корреляция и коинтеграция

Два вопроса, которые звучат как один

«Ходят ли эти двое вместе?» на поверку оказывается двумя разными вопросами, и смешивание их — самый частый способ проиграть в парной сделке.

Первый: когда один двигался вчера, двигался ли второй вместе с ним? Это корреляция.

Второй: остаются ли они привязаны друг к другу, так что разойдясь, стягиваются обратно? Это коинтеграция.

Пара может хорошо отвечать на первый вопрос и полностью провалить второй. Именно это сочетание красиво выглядит в скринере и теряет деньги.

Что здесь измеряет корреляция

Корреляция на сайте — коэффициент Пирсона, посчитанный на дневных логарифмических доходностях, а не на ценах. Различие важнее, чем кажется.

Корреляция на уровнях цен в трендовом рынке почти бессмысленна. Любые два актива, выросшие за год, покажут корреляцию около единицы просто потому, что обе серии шли вверх и вправо. Это утверждение об общем тренде, а не о какой-либо связи между ними. Посчитайте её для двух несвязанных активов на бычьем рынке — всё равно получите 0,9.

Корреляция на доходностях задаёт более строгий вопрос: в те дни, когда один рос, рос ли и второй? Это уже утверждение о совместном движении, и оно переживает вычитание тренда.

Как читать значение:

Выше 0,7 — ноги ходили вместе устойчиво. Под подобранной регрессией есть что-то настоящее.

От 0,4 до 0,7 — частично. Значительная часть движения каждой ноги — её собственная. Остаток будет шумнее, а хедж — менее эффективным.

Ниже 0,4 — большая часть того, что подбирает регрессия, является шумом. β всё равно выйдет числом, и z-score всё равно посчитается, но описывать они будут связь, которой почти нет.

Отрицательная — ноги ходили в разные стороны. Это идёт в паре с отрицательной β и означает, что хедж строить не из чего.

Чего корреляция не замечает

Вот случай отказа, и о нём стоит сказать конкретно.

Возьмите два актива. Каждый день оба двигаются в одну сторону на схожий процент — корреляция около 0,95. Но один из них вдобавок дрейфует вверх чуть быстрее, неделя за неделей. Не настолько, чтобы сломать дневное совместное движение, — просто постоянное подтачивание.

Корреляция всё это время остаётся высокой. Разрыв между ними растёт неограниченно.

Парная сделка на такой связи теряет деньги непрерывно, в то время как вся статистика совместного движения выглядит здоровой. Дневная корреляция измеряет не тот горизонт: она видит движение каждого дня и никогда не видит накопленный дрейф.

Что добавляет коинтеграция

Коинтеграция — это свойство, говорящее, что устойчив сам разрыв. Формально: две серии, каждая из которых блуждает сама по себе, коинтегрированы, если некоторая их линейная комбинация не блуждает — держится около фиксированного уровня, а отклонившись, стягивается обратно.

Эта линейная комбинация и есть спред. Коинтеграция — ровно утверждение о том, что спред возвращается к среднему, а именно на этом свойстве парная сделка и держится. Не на том, что ноги ходят вместе, а на том, что они остаются связанными.

Стандартные тесты — Энгла — Грейнджера, который подбирает связь и затем проверяет остаток на единичный корень, и Йохансена, работающий более чем с двумя рядами сразу.

Что измеряет этот сайт, а что нет

Здесь нужно быть прямым, потому что в этой разнице и состоит смысл статьи.

Формальный тест на коинтеграцию сайт не проводит. Ни Энгла — Грейнджера, ни Йохансена, ни расширенного теста Дики — Фуллера, ни p-значения на стационарность. Ничто здесь не следует читать как утверждение, что пара коинтегрирована в статистическом смысле.

Вместо этого измеряются три свойства, которые коинтегрированная пара проявляла бы, и каждое показано отдельно — чтобы было видно, какое из них делает работу:

Корреляция на логарифмических доходностях — ходят ли ноги вместе вообще.

Полураспад из подбора Орнштейна — Уленбека: стягивались ли отклонения спреда исторически обратно и как быстро. Это самое близкое здесь к проверке на возврат: полураспад, который вообще оценивается и при этом короче выборки, — свидетельство того, что остаток вёл себя на окне как возвращающийся к среднему ряд. Свидетельство, а не тест с уровнем доверия.

Z-score спреда — где остаток стоит прямо сейчас относительно своего недавнего диапазона.

У пары с высокой корреляцией, оценимым полураспадом внутри выборки и устойчивой β есть отпечатки коинтегрированной связи. Пара с высокой корреляцией и без оценки полураспада — это тот самый случай отказа, описанный выше: ходят вместе, не связаны, дрейфуют.

При таком чтении колонка полураспада перестаёт быть второстепенной деталью. Это та колонка, которая разделяет два вопроса, с которых начиналась статья.

О том, что вообще можно установить

Все эти статистики посчитаны по конечному прошлому окну и описывают это окно. Тесты на коинтеграцию в том числе: формальный тест дал бы p-значение для гипотезы о стационарности остатка в выборке, а связи между криптоактивами ломаются по причинам, которые никакой исторический тест предвидеть не может.

Честная формулировка для любого числа на сайте — описательная: вот так пара вела себя, на таком окне, на таком таймфрейме. Что она сделает дальше — отдельный вопрос, и скринер на него не отвечает.

Все три метрики рядом для любой пары можно посмотреть в скринере.