Что такое регрессионный спред

Отношение — очевидный ответ, и он ошибается достаточно часто

Разделите цену одного актива на цену другого — получится отношение. Его легко посчитать, легко нарисовать, и оно отвечает на настоящий вопрос: сколько единиц B стоит сейчас одна единица A.

Но как торговая мера оно содержит скрытое допущение. Отношение описывает позицию «одна единица A против одной единицы B». Если бы вы её собрали, а потом A вырос на 1% и B вырос на 1%, вы остались бы при своих. Только ноги редко ходят с одинаковой амплитудой. Пара, где A привычно двигается на 1,6% на каждый процент B, не захеджирована один к одному, и график её отношения большую часть времени просто дрейфует туда, куда идёт более подвижная нога.

Этот дрейф — не информация о паре. Это информация о том, что веса подобраны неверно.

Подобрать пропорцию, а не назначить её

Другой путь — позволить данным самим задать пропорцию. Берём логарифмы обеих ценовых серий и подбираем прямую:

log(A) = α + β·log(B) + ε

β — наклон: какую часть движения A объясняет B. α — свободный член, постоянная разница уровней. ε — то, что прямая объяснить не смогла: остаток, по одному числу на бар.

Этот остаток и есть спред.

спред = log(A) − α − β·log(B)

Прочитайте его как фразу: та часть цены A, которую B не объясняет. Когда ноги идут вместе в своей обычной пропорции, остаток держится около нуля — прямая движение уже предсказала. Когда A убегает вперёд относительно того, что подразумевает B, остаток растёт. Когда отстаёт — падает.

Зачем логарифмы

Две причины, обе практические.

Разность логарифмов — это процентное изменение. На логарифмах движение в 1% весит одинаково, торгуется актив по 70 000 или по 0,000005. Для крипты это существенно: в одном скринере соседствуют инструменты, отличающиеся по цене на десять порядков. На сырых ценах дорогая нога подавила бы подбор, а дешёвая почти не попала бы в него.

Вторая причина — пропорциональная связь превращается в прямую. Если A обычно ходит как некоторая постоянная степень B, логарифмирование даёт ровно log(A) = α + β·log(B) — ту самую форму, которую подбирает линейная регрессия. При этом ничего не приходится предполагать о знаке и величине β: они выходят из данных.

Пример с числами

Пусть подбор на 90 днях дал β = 1,42 и α = 0,31. B торгуется по 2400, A — по 61.

log(B) = 7,783
ожидаемый log(A) = 0,31 + 1,42 × 7,783 = 11,362
фактический log(A) = 4,111

В таком виде числа напрямую не сравнимы — разницу уровней забирает на себя α, в этом и состоит её работа. Важно другое: подобранная прямая даёт ожидаемый log(A) для каждого наблюдаемого log(B), а остаток — это зазор между ожиданием и фактом, в логарифмических единицах. Остаток +0,08 означает, что A торгуется примерно на 8% выше того, что подразумевает его обычная связь с B.

Восемь процентов выше — само по себе ни много, ни мало. Для такого вывода нужен второй шаг: сравнить остаток с тем, насколько далеко он обычно отходит. Этим занимается z-score спреда.

Когда спред и отношение расходятся

Заметнее всего — при отрицательной β. Отрицательный наклон означает, что на подобранном окне ноги ходили в разные стороны. График отношения всё равно что-нибудь покажет — поделить два числа можно всегда, — но остаток, построенный на отрицательной β, описывает связь, в которой рост A является нормальной реакцией на падение B.

Позиция, собранная по такой связи, — не рыночно-нейтральный хедж. Это направленная ставка сразу на обе ноги, и обе могут проиграть одновременно. Поэтому пары с β ≤ 0 в скринере помечаются, а не ранжируются среди торгуемых.

Чего спред не говорит

Он описывает подобранное окно и ничего больше. Три ограничения стоит держать в голове.

Подбор не зафиксирован. β, оценённая по последним 90 дням, — это не β следующих 90. Связи между криптоактивами меняются с листингами, разлоками, ротацией нарративов и миграцией ликвидности. Спред, выглядящий стационарным внутри выборки, может перестать им быть на следующий день после её конца.

Большой остаток — не сигнал, что он сократится. Расхождение может продолжиться, а одна из ног могла разойтись потому, что с ней действительно что-то изменилось. Остаток измеряет расстояние, а не направление дальнейшего движения.

Регрессия предполагает линейную связь в логарифмах. Там, где это допущение плохо работает, плох будет и остаток. Диагностика для этого — насколько связь держалась исторически, об этом корреляция и коинтеграция.

На каждой странице пары показаны подобранная β, текущий остаток и окно подбора — чтобы входные данные числа были видны рядом с самим числом. Можно также открыть скринер, отсортированный по тому, насколько далеко каждый остаток сейчас стоит от своей нормы.